pornolar

Asal Sayıların Sonsuzluğu

Asal Sayıların Sonsuzluğu

Asal sayılar sonsuz tanedir. Şimdi bunu ispatlayalım;

Euclid’in M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan ispatı sizlerle paylaşacağım. Çelişki yöntemiyle asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayacağız.

Farz edelim ki sonlu sayıda asal sayı vardır, bu sonlu sayıya n diyelim, bu n tane asal sayının büyüklük sıralamasını yapalım, ve bunları sırası ile {{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},\,\ldots ,{{p}_{n}} diye adlandıralım, bu takdirde;

{{p}_{1}}=2,{{p}_{2}}=3,{{p}_{3}}=5,{{p}_{4}}=7,{{p}_{5}}=11,{{p}_{6}}=13,\,\dots

olur.

 

Şimdi bütün bu asal sayıları çarpıp, bu çarpımı 1 ile toplayalım, çıkan sayıya k diyelim

k=\left( {{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}} \right)+1

k asal sayı olamaz, çünkü tanımladığımız bütün asal sayılardan büyüktür, o yüzden 1 ve kendisi hariç bir sayıya, dolayısıyla bir asal sayıya bölünmesi gerekir. O halde \exists i=\overline{1,n} {{p}_{i}}|k. Aynı zamanda {{p}_{i}} asalı {{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}} sayısının da bir böleni olduğundan {{p}_{i}}|{{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}} elde edilir. Buradan {{p}_{i}}|k-{{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\dots {{p}_{n}}\Rightarrow {{p}_{i}}|1 elde edilir. Bu ise çelişkidir. Bir asal sayı 1’i bölemez. Buna göre varsayımımız yanlıştır. Yani sonsuz tane asal sayı vardır.

 

Euler’in de bu konuda bir ispatı vardır. Hatta o daha genel bir hali ispatlamıştır. Asalsayıların 1 bölü hallerini (reciprocal) toplarsak, bu toplamın sonsuz olacağını ispat etmiş yani,

\displaystyle{\sum\limits_{pasal}{\frac{1}{p}=}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\cdots}

toplamının sonsuz olduğunu göstermiştir. Eğer asal sayılar sonlu sayıda olsaydı, sonlu tane sayının toplamı olarak bu toplam sonlu olacaktı, ama değil, bu yüzden asal sayılar sonsuz sayıdadır.

Share this post

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

* Copy This Password *

* Type Or Paste Password Here *

*