Oops! It appears that you have disabled your Javascript. In order for you to see this page as it is meant to appear, we ask that you please re-enable your Javascript!
pornolar

Bağıntılar-Relation

Bağıntılar-Relation

TANIM1: X ve Y iki küme olsun. X\times Y'nin herhangi bir alt kümesine X'den Y'ye bir bağıntı denir. Bazı kaynaklarda bağıntının tanımı verilirken X,Y\ne\emptyset olarak verilir ve X\times Y'nin boştan farklı herhangi bir alt kümesine bağıntı denir. Yani \emptyset bir bağıntı olarak kabul edilmez. Halbuki boşkümenin bir bağıntı olması matematiğin herhangi bir dalına herhangi bir problem yaratmaz. Aksine, boş kümenin bir bağıntı olarak kabul edilmesi topos teoride çok önemli bir rol oynar.

X, n elemanlı, Y, m elemanlı kümeler ise X\times Y, n.m elemanlı bir kümedir. X'den Y'ye bir bağıntı aynı zamanda \mathbf{P}(X\times Y)'nin bir elemanı olduğundan X'den Y'ye tüm bağıntıların sayısı 2^{n.m}'dir. X ve Y boş olmayan kümeler ve en az biri sonsuz elemanlı ise X'den Y'ye tüm bağıntıların kümesi de sonsuz elemanlıdır.

R\subset{X\times{Y}} boştan farklı bir bağıntı olsun. (x,y)\in{R} ise x'e R bağıntısına göre y'ye bağlıdır denir. Bu durum (x,y)\in{R}, xRy ya da R(x)=y gösterimleriyle gösterilir.

ÖRNEK1: X=\{a,b,c\}, Y=\{1,2\} olsun. X, 3 elemanlı, Y, 2 elemanlı küme olduğundan X'den Y'ye 2^{2.3}=2^{6}=64 bağıntı vardır. Bunlardan birkaç tanesini verelim:

R_1=\emptyset R_2=\{(a,1)\} R_3=\{(b,1),(b,2),(c,2)\} R_4=X\times{Y}

ÖRNEK2: X=Y=\mathbb{R}, R=\{(x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}\text{ }\vert\text{ }x^2=y^2\} olsun. (-1)^2=1^2 olduğundan (-1,1)\in{R}'dir. Ya da bu durum -1R1 olarak gösterilir. Bağıntının tüm elemanlarını dik koordinat düzleminde gösterelim:

TANIM2: X ve Y iki küme, R\subset{X\times Y} bir bağıntı olsun. R^{-1}=\{(y,x)\text{ }\vert\text{ }(x,y)\in{R}\}\subset{Y\times X} şeklinde tanımlanan kümeye R bağıntısının tersi denir. Eğer R=\emptyset ise R^{-1}=\emptyset olarak tanımlıdır.

ÖRNEK3: Örnek1'deki bağıntıların terslerini bulalım:

R_1^{-1}=\emptyset R_2^{-1}=\{(1,a)\} R_3^{-1}=\{(1,b),(2,b),(2,c)\} R_4^{-1}=Y\times{X}

TANIM3: X,Y,Z kümeler R\subset{X\times{Y}} ve  S\subset{Y\times{Z}} bağıntılar olsun. S\circ R=\{(x,z)\text{ }\vert\text{ }x\in{X}, z\in{Z}, \exists y\in{Y}: (x,y)\in{R}\land (y,z)\in{S}\}\subset{X\times{Z}} şeklinde tanımlanan yeni bağıntıya R ve S bağıntılarının bileşkesi denir.

ÖRNEK4: X=\{a,b,c\}, Y=\{1,2,3\}, Z=\{x,y,z\}, R_1=\{(a,1),(a,2),(b,3)\}, R_2=\{(b,2),(b,3)\}, S_1=\{(1,x),(1,z)\} ve S_2=\{(2,z),(3,x)\} olsun. Bu durumda:

S_1\circ{R_1}=\{(a,x),(a,z)\} S_2\circ{R_1}=\{(a,z),(b,x)\} S_1\circ{R_2}=\emptyset S_2\circ{R_2}=\{(b,z),(b,x)\}

olur.

TANIM4: X bir küme, R\subset{X\times{X}} olsun. (Burada R bağıntısının X'den X'e bir bağıntı olduğuna dikkat ediniz. Aşağıda verilecek tanım R\subset{X\times{X}} biçimindeki bağıntılarda verilebilir. Farklı iki küme arasındaki bağıntılarda verilmez):

a) \forall x\in{X}, aRa ise R'ye "yansıyan" bağıntı,

b) xRy olan \forall x,y\in{X}, yRx ise R'ye "simetrik" bağıntı,

c) xRy\land{yRx} olan \forall x,y\in{X}, x=y ise R'ye "ters simetrik" bağıntı,

d) xRy\land{yRz} olan \forall x,y,z\in{X}, xRz ise R'ye "geçişken" bağıntı denir.

TANIM5: X bir küme R\subset{X\times{X}} bir bağıntı olsun. Eğer R, yansıyan, ters simetrik ve geçişken bir bağıntı ise R'ye bir kısmi sıralama bağıntısı denir ve genelde R=\le biçiminde gösterilir. \le, Xüzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı ise (X,\le) ikilisine kısmi sıralanmış küme denir.

TANIM6: X bir küme R\subset{X\times{X}} bir bağıntı olsun. Eğer R, yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı ise R'ye bir denklik bağıntısı denir ve genelde R=\sim biçiminde gösterilir.

 

İNGİLİZCESİ

DEFINITION1: Let X and Y be two sets. Any subset of the cartesian product X\times{Y} is called a relation with domain X and codomain Y. While some sources are giving the definition of relation, they assume X,Y\ne{\varnothing} and it’s said the emptyset being a subset of X\times{Y} isn’t a relation. However, the assumption “the emptyset is a relation” is not a problem for any branch of the mathematics. On the contrary, the assumption “the emptyset is a relation” plays an important role in some branch of the mathematics.

If X and Y are two sets with n and m elements respectively, then the cartesian product X\times{Y}has n.m elements. Since a relation with domain X and codomain Y is an element of the power set\mathbf{P}(X\times Y) and the number of the elements of the power set of a set with k elements is 2^{k}, then the number of all the relations with domain X and codomain Y is 2^{n.m}. If X,Y\ne{\varnothing} and at least one of X and Y is infinite set, then the number of all the relations with domain X and codomain Y is also infinity.

Let R\subset{X\times{Y}} be a relation not being the emptyset. The statement (x,y)\in{R} is read “x is R-related to y” and is denoted by xRy or R(x)=y.

EXAMPLE1: Let X=\{a,b,c\} and Y=\{1,2\}. Since X has 3 elements and Y has 2 elements, the number of all the relations with domain X and codomain Y is 2^{2.3}=2^{6}=64. We can give some of these 64 relations:

R_1=\emptyset,

R_2=\{(a,1)\},

R_3=\{(b,1),(b,2),(c,2)\},

R_4=X\times{Y}.

EXAMPLE2: Let X=Y=\mathbb{R} and R=\{(x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}\:|\:x^2=y^2\}. Since (-1)^2=1^2, then (-1,1)\in{R}. Let’s show all the elements of this relation on the cartesian coordinate plane:

DEFINITION2: Let X, Y be two sets and R\subset{X\times{Y}}. The relation defined as

R^{-1}=\{(y,x)\:|\:(x,y)\in{R}\}\subset{Y\times X}

is called the inverse or converse relation of R. If R=\varnothing, then the inverse of R is defined by R^{-1}=\varnothing.

EXAMPLE3: Find the inverses of the relations in Example1:

R_1^{-1}=\emptyset,

R_2^{-1}=\{(1,a)\},

R_3^{-1}=\{(1,b),(2,b),(2,c)\},

R_4^{-1}=Y\times{X}.

DEFINITION3: Let X,Y,Z be three sets and R\subset{X\times{Y}}, S\subset{Y\times{Z}} be two relations. The relation defined as

S\circ R=\{(x,z)\:|\:\exists y\in{Y}: (x,y)\in{R}\land (y,z)\in{S}\}\subset{X\times{Z}}

is called the composition of the relations R and S.

EXAMPLE4: X=\{a,b,c\}, Y=\{1,2,3\}, Z=\{x,y,z\}, R_1=\{(a,1),(a,2),(b,3)\}, R_2=\{(b,2),(b,3)\}, S_1=\{(1,x),(1,z)\} and S_2=\{(2,z),(3,x)\}. Hence:

S_1\circ{R_1}=\{(a,x),(a,z)\},

S_2\circ{R_1}=\{(a,z),(b,x)\},

S_1\circ{R_2}=\varnothing,

S_2\circ{R_2}=\{(b,z),(b,x)\}.

DEFINITION4: Let X be a set and R\subset{X\times{X}}. (Note that the domain and the codomain of the relation R are equal. The following definitions can be given for the relations over a set X. It can’t be given for the relations between two difference sets)

a) If xRx for all x\in{X}, then the relation R is called “reflexive”.

b) If it holds “xRy\Rightarrow{yRx}” for x,y\in{X}, then the relation R is called “symmetric”.

c) If it holds “xRy\land{yRx}\Rightarrow{x=y}” for x,y\in{X}, then the relation R is called “antisymmetric”.

d) If it holds “xRy\land{yRz}\Rightarrow{xRz}” for x,y,z\in{X}, then the relation R is called “transitive”.

DEFINITION5: Let X be a set and R\subset{X\times{X}}. If the relation R is reflexive, antisymmetric and transitive, then the relation R is called a “partial order relation” and denoted by R=\le in general. If “\le” is a partial order relation over a set X, then (X,\le) is called “partially ordered set” or shortly “poset”.

DEFINITION6: Let X be a set and R\subset{X\times{X}}. If the relation R is reflexive, symmetric and transitive, then the relation R is called an “equivalence relation” and denoted by R=\sim in general.

Share this post

Bir cevap yazın