Oops! It appears that you have disabled your Javascript. In order for you to see this page as it is meant to appear, we ask that you please re-enable your Javascript!
pornolar

Fonksiyonlar-Function

Fonksiyonlar-Function

Fonksiyonlar matematiğin en önemli kavramlarından biridir. Hatta o kadar önemlidir ki matematiğin tanımını "matematik kümeler arasındaki fonksiyonları inceleyen bilim dalıdır" şeklinde yapanlar vardır. Tabiki bu tanım doğru değildir. Fakat fonksiyonların ne derece önemli olduğunu belirtmek için böyle bir örnek verdim. Matematik uzaktan bir su birikintisine benzer. Yanına gelirsin göl olur. İçine girersin deniz olur. Ve açılırsın okyanus olur.

TANIM1: X ve Y iki küme, f\subset{X\times{Y}} bir bağıntı olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa fbağıntısına bir fonksiyon denir:

1. \forall{x}\in{X}, \exists{y}\in{Y}: (x,y)\in{f},

2. (x,y),(x,y')\in{f}\Rightarrow{y=y'}.

Burada X'e tanım kümesi, Y'ye ise değer kümesi denir. Tanımından da anlaşılacağı gibi fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı, değer kümesindeki tek bir elemanla eşleştiren bir bağıntıdır. Bu yüzden fonksiyonlarda xfy veya (x,y)\in{f} gösterimi yerine y=f(x) gösterimi kullanılır. Bir fonksiyona bazen dönüşüm de denir. Eğer f, X'den Y'ye bir fonksiyon ise bu durum f:X\rightarrow{Y}ile ya da X\stackrel{f}{\rightarrow}{Y} ile gösterilir.

ÖRNEK1 (Birim fonksiyon, Özdeşlik fonksiyonu): X bir küme olsun. I_{X}:X\rightarrow{X} \forall{x}\in{X}, I_{X}(x)=x şeklinde tanımlanan fonksiyona X kümesinin birim fonksiyonu denir.

ÖRNEK2 (Sabit fonksiyon): X,Y\ne{\emptyset} kümeler, c\in{Y} bir sabit olsun. f:X\rightarrow{Y} \forall{x}\in{X}, f(x)=c biçiminde tanımlanan dönüşüme sabit fonksiyon denir.

ÖRNEK3 (İçerme fonksiyonu): X bir küme, \emptyset\ne{A}\subset{X} olsun. i_{A}:A\rightarrow{X} \forall{a}\in{A}, f(a)=abiçiminde tanımlanan dönüşüme A kümesinin X'deki içerme fonksiyonu denir.

ÖRNEK4 (Kısıtlama fonksiyonu): X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} bir fonksiyon, A\subset{X} olsun. f\downarrow{A}:A\rightarrow{Y}, \forall{a}\in{A}, f\downarrow{A}(a)=f(a) şeklinde tanımlanan fonksiyona bir kısıtlama (kısıtlanış) fonksiyonu denir.

ÖRNEK5 (Karakteristik fonksiyon): X bir küme, A\subset{X} olsun. \chi_{A}:X\rightarrow\{0,1\},

\chi_{A}(x)=\bigg\{ 1,\text{ }x\in{A}\\0,\text{ }x\in{X\setminus{A}}

şeklinde tanımlanan fonksiyona A kümesinin karakteristik fonksiyonu denir.

TANIM2: X ve Y iki küme, f,g:X\rightarrow{Y} iki fonksiyon olsun. \forall{x}\in{X}, f(x)=g(x) ise f ve gfonksiyonlarına eşittir denir ve f=g ile gösterilir.

TANIM3: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} fonksiyon olsun. f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow{x_{1}=x_{2}} koşulu sağlanıyorsa f'e birebir fonksiyon denir.  Bazen birebir yazmak yerine 1-1 sembolü kullanılır. 1-1'lik koşulu x_{1}\ne{x_{2}}\Rightarrow{f(x_{1})\ne{f(x_{2})}} koşulu ile denk olduğundan 1-1 fonksiyonun tanımı bu biçimde de verilebilir. Tanımından da anlaşılacağı gibi birebir bir fonksiyon iki farklı elemanı aynı elemana götürmeyen fonksiyondur.

TANIM4: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} fonksiyon olsun. \forall{y}\in{Y}, \exists{x}\in{X} : f(x)=y koşulu sağlanıyorsa f'e örten fonksiyon denir. Yani Y'deki tüm elemanlara X kümesinden en az bir eleman karşılık getiren fonksiyona örten fonksiyon denir.

TANIM5: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} fonksiyon olsun. Eğer f hem 1-1 hem de örtense f'e bir tam eşleme denir. Tam eşlemeye örnek olarak Örnek1'deki birim fonksiyon verilebilir.

ÖRNEK6: Aşağıdaki f, g ve h fonksiyonlarını inceleyelim:

X'deki her bir eleman Y'deki farklı bir farklı elemanla eşleştiğinden f 1-1'dir. Fakat e\in{Y} için f(x)=e olacak biçimde bir x\in{X} bulunmadığından örten değildir.

B'deki her bir eleman A'daki en az bir elemanın görüntüsü olduğundan (g(2)=a, g(5)=b, g(1)=c, g(4)=d) g örtendir. Fakat g(3)=g(4) olmasına rağmen 3\ne{4} olduğundan 1-1 değildir.

S'deki her bir eleman T'deki farklı bir elemanla eşleştiğinden ve T'deki her bir eleman S'deki en az bir elemanın görüntüsü olduğundan h 1-1 ve örtendir.

Yukarıdaki 3 örnekte görüldüğü gibi 1-1'lik için gerek ve yeter şart, tanım kümesindeki okların farklı farklı yönlere gitmesi, örtenlik için gerek ve yeter şart ise, değer kümesindeki her bir elemana tanım kümesinden en az bir ok gelmesidir. Fakat bu, sonlu kümeler için böyledir. Sonsuz kümeleriVenn şemasında gösteremeyeceğimiz için yukarıdaki gösterimleri kullanamayız. Sonsuz kümeler üzerindeki fonksiyonları 1-1 ve örtenliğine bakmak için farklı yöntemler vardır. Aşağıda bununla ilgili örnekler mevcuttur:

ÖRNEK7: a,b\in{\mathbb{R}}, a\ne{0}, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}, f(x)=ax+b olarak tanımlansın.

x_{1},x_{2}\in{\mathbb{R}}, f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow{ax_{1}+b=ax_{2}+b}\Rightarrow{ax_{1}=ax_{2}\land{a\ne{0}}} \Rightarrow{x_{1}=x_{2}}olduğundan f 1-1'dir.

\forall{y}\in{\mathbb{R}}, x=\displaystyle{\frac{y-b}{a}} olarak alınırsa f(x)=\displaystyle{f(\frac{y-b}{a})=a\frac{y-b}{a}+b=y-b+b=y} olur. O halde f örtendir. f, 1-1 ve örten olduğundan bir tam eşlemedir.

ÖRNEK8: f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}, f(x)=x^{2} olarak tanımlansın.

-1,1\in{\mathbb{R}}, -1\ne{1} olduğu halde f(-1)=(-1)^{2}=1=1^{2}=f(1) olduğundan f 1-1 değildir.

y=-1\in{\mathbb{R}} için f(x)=x^{2}=-1 olacak biçimde bir x\in{\mathbb{R}} bulunmadığından f örten de değildir.

ÖRNEK9: f:\mathbb{R}\rightarrow{[0,+\infty)}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}, f(x)=x^{2} olarak alalım. Fonksiyon aslında Örnek7'deki ile aynı fonksiyondur, ama değer kümesi değiştirilmiştir. Şimdi bu koşullar altında 1-1 ve örtenliği inceleyelim:

y\in{[0+\infty)} olsun. y\ge{0} olduğundan \sqrt{y} mevcuttur. x=\sqrt{y}\in{\mathbb{R}} olarak alalım. O halde f(x)=f\left( \sqrt{y} \right)=\left( \sqrt{y} \right)^{2}=|y|=y olduğundan f örtendir. Fakat yine -1,1\in{\mathbb{R}} için f(-1)=f(1)=1 olduğundan f 1-1 değildir.

ÖRNEK10: Bu kez f\left( x \right)={{x}^{2}} fonksiyonunu f:[0,+\infty)\to [0,+\infty) olarak düşünelim. Bu durumda Örnek9’dakine benzer biçimde f’in örten olduğu ispatlanır. Şimdi 1-1’liğe bakalım. {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in [0,+\infty ) için

f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)\Rightarrow x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\Rightarrow \sqrt{x_{1}^{2}}=\sqrt{x_{2}^{2}}\Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=\left| {{x}_{2}} \right|\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}} olduğundan f 1-1’dir.

Örnek 8, Örnek9 ve Örnek10 bize gösteriyor ki, bir fonksiyonun tanım ve değer kümesine bağlı olarak 1-1 veya örtenliği değişebilir. f\left( x \right)={{x}^{2}} fonksiyonunun 1-1 veya örten olup olmadığı sorulduğu zaman, cevap vermeden önce şu soruyu sormak lazımdır: Hangi kümeden hangi kümeye?

ÖNERME1: X ve Y n elemanlı iki küme, f:X\rightarrow{Y} bir fonksiyon olsun. Bu takdirde,

f 1-1'dir \iff örtendir.

İSPAT:

Yukarıdaki teorem yalnızca sonlu kümelerde geçerlidir. Sonsuz kümelerde örten fonksiyon 1-1, 1-1 fonksiyon örten olmak zorunda değildir. Örneğin f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}, f(x)=e^{x} fonksiyonu 1-1'dir. Ancak negatif değerler almadığından örten değildir.

TANIM6: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} fonksiyon, A\subset{X} ve B\subset{Y} olsun.

f(A)=\{f(x)\text{ }\vert\text{ }x\in{A}\},

f^{-1}(B)=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }f(x)\in{B}\}

şeklinde tanımlanan kümelere sırasıyla "A kümesinin f altındaki görüntüsü" ve "B kümesinin faltındaki ters görüntüsü" denir. Tanımdan görüldüğü üzere f(A), A'daki elemanların görüntülerinden, f^{-1}(B) ise görüntüsü B kümesinde olan X'in elemanlarından oluşur. Özel olarak A=X olarak alınırsa f(X)=Imf olarak gösterilir. f(A)\subset{Y}, f^{-1}(B)\subset{X} olduğu ve f(\emptyset)=\emptyset, f^{-1}(\emptyset)=\emptyset olduğu açıktır.

ÖRNEK11: X=\{1,2,3,4\}, Y=\{a,b,c,d,e\}, f(1)=a, f(2)=e, f(3)=e, f(4)=d, A_{1}=\{1,4\}A_{2}=\{2,3\}, A_{3}=\{1,2,4\}, A_{4}=X, B_{1}=\{e\}, B_{2}=\{b,c\}B_{3}=\{a,b,c,d\} ve B_{4}=Y olsun.

Bu durumda;

f(A_{1})=\{a,d\},

f(A_{2})=\{e\},

f(A_{3})=\{a,d,e\},

f(A_{4})=f(X)=\{a,d,e\},

f^{-1}(B_{1})=\{2,3\},

f^{-1}(B_{2})=\emptyset,

f^{-1}(B_{3})=\{1,4\},

f^{-1}(B_{4})=f^{-1}(Y)=X

olur.

ÖNERME2: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} bir fonksiyon, A,B\subset{X}, C,D\subset{Y} olsun. Bu takdirde,

a) A\subset{B}\Rightarrow{f(A)\subset{f(B)}},

b) C\subset{D}\Rightarrow{f^{-1}(C)\subset{f^{-1}(D)}}

sağlanır.

İSPAT:

ÖNERME3: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} bir fonksiyon, I ve \Lambda iki indis kümesi, \{A_{i}\}_{i\in{I}}\subset{\mathbf{P}(X)} ve \{B_{\lambda}\}_{\lambda\in{\Lambda}}\subset{\mathbf{P}(Y)} kümeler ailesi olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır:

a) \displaystyle{f\Big{(}\bigcup_{i\in{I}}{A_{i}}\Big{)}=\bigcup_{i\in{I}}{f(A_{i})}},

b) \displaystyle{f\Big{(}\bigcap_{i\in{I}}{A_{i}}\Big{)}\subset{\bigcap_{i\in{I}}{f(A_{i})}}},

c) \displaystyle{f^{-1}\Big{(}\bigcup_{\lambda\in{\Lambda}}{B_{\lambda}}\Big{)}=\bigcup_{\lambda\in{\Lambda}}{f^{-1}(B_{\lambda})}},

d) \displaystyle{f^{-1}\Big{(}\bigcap_{\lambda\in{\Lambda}}{B_{\lambda}}\Big{)}=\bigcap_{\lambda\in{\Lambda}}{f^{-1}(B_{\lambda})}}.

İSPAT:

SONUÇ1: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} bir fonksiyon, A,B\subset{X} ve C,D\subset{Y} olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır:

a) f(A\cup{B})=f(A)\cup{f(B)},

b) f(A\cap{B})\subset{f(A)\cap{f(B)}},

c) f^{-1}(C\cup{D})=f^{-1}(C)\cup{f^{-1}(D)},

d) f^{-1}(C\cap{D})=f^{-1}(C)\cap{f^{-1}(D)}.

Önerme3'de ve onun bir sonucu olan Sonuç1'de dikkatleri çeken bir durum vardır. Tabiki "b" şıkkı. Diğer bütün şıklarda eşitlik varken "b" şıkkında sadece altküme özelliği verilebiliyor. Bu ilginç bir özelliktir. Altküme olduğuna göre eşit de olabilir. Önermeye göre bazı durumlarda eşitlik sağlanır, bazı durumlarda ise sağlanmaz. Eşitliğin sağlandığına dair örnek için hemen birim fonksiyon verilebilir. Peki eşitliğin sağlanmadığına dair bir örnek var mı? Aşağıdaki örnek bu sorunun yanıtıdır:

ÖRNEK12: X=\{1,2\}, Y=\{a\}, f:X\rightarrow{Y} fonksiyonu f(1)=a ve f(2)=a olarak tanımlansın. Açıktır ki f bir fonksiyondur. A=\{1\} ve B=\{2\} olarak alalım. A\cap{B}=\emptysetolduğundan f(A\cap{B})=\emptyset'dir. Öte yandan f(A)=f(B)=\{a\} olduğundan f(A)\cap{f(B)}=\{a\}'dır. Görüldüğü gibi f(A\cap{B})\subsetneqq{f(A)\cap{f(B)}}'dir. Dolayısıyla bazı durumlarda eşitliğin sağlanmadığına dair örnek mevcuttur.

Bazı durumlarda eşitlik sağlanıyor, bazı durumlarda ise sağlanmıyor. Peki, eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kesin öğrenebileceğimiz bir kriter var mıdır? Aşağıdaki önerme bu sorunun cevabıdır:

ÖNERME4: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} bir fonksiyon olsun. Bu takdirde,

\forall{A,B}\subset{X}, f(A\cap{B})=f(A)\cap{f(B)}\Leftrightarrow{f}, 1-1'dir.

İSPAT:

ÖNERME5: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} bir fonksiyon olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır:

a) \forall{A}\subset{X}, A\subset{f^{-1}(f(A))},

b) \forall{B}\subset{Y}, f(f^{-1}(B))\subset{B}.

İSPAT:

ÖNERME6: X ve Y iki küme, f:X\rightarrow{Y} bir fonksiyon olsun. Bu takdirde,

a) f, 1-1'dir \iff \forall{A}\subset{X}, f^{-1}(f(A))=A,

b) f, örtendir \iff \forall{B}\subset{Y}, f(f^{-1}(B))=B,

c) f, 1-1 ve örtendir \iff \forall{A}\subset{X}, f(A^{C})=f(A)^{C}.

İSPAT:

TANIM7: X,Y,Z kümeler, f:X\to Y, g:Y\to Z fonksiyonlar olsun. g\circ f:X\to Z, \forall x\in X,\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right) şeklinde tanımlanan fonksiyona f ve g fonksiyonlarının bileşkesi denir.

ÖRNEK13: X=Y=Z=\mathbb{R}, f\left( x \right)=\sin x ve g\left( x \right)={{e}^{x}} ise \left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( \sin x \right)={{e}^{\sin x}} olur.

g\circ f bileşke fonksiyonunun var olabilmesi için f’in değer kümesi ile g’nin tanım kümesi çakışık olmalıdır. g\circ f ve f\circ g var olduğu durumda g\circ f=f\circ g olmak zorunda mıdır? Bunu bir örnekle açıklayalım:

ÖRNEK14: X=Y=Z=\mathbb{R}, f\left( x \right)={{x}^{2}} ve g\left( x \right)=x+1 olsun. Bu durumda, \left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{x}^{2}} \right)={{x}^{2}}+1, \left( f\circ g \right)\left( x \right)=f\left( g\left( x \right) \right)=f\left( x+1 \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}} olur ve görülür ki g\circ f\ne f\circ g’tir. f\left( x \right)={{x}^{2}} ve g\left( x \right)=x+1 olarak seçtiğimizde, g\circ f\ne f\circ g olduğunu gördük. f ve gyerine başka fonksiyonlar aldığımızda da g\circ f\ne f\circ g olmak zorunda mıdır? Bu sorunun cevabı hayırdır. Örneğin f\left( x \right)=2x ve g\left( x \right)=3x alırsak, \left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( 2x \right)=3\left( 2x \right)=6x ve \left( f\circ g \right)\left( x \right)=f\left( g\left( x \right) \right)=f\left( 3x \right)=2\left( 3x \right)=6x olur. Yani f\left( x \right)=2x ve g\left( x \right)=3x olarak seçtiğimizde g\circ f=f\circ g olabiliyor. Buradan şöyle bir sonuç çıkıyor: g\circ f ve f\circ g var olduğu durumda g\circ f ve f\circ g eşit de farklı da olabilir.

ÖNERME7: X ve Y iki küme, f:X\to Y bir fonksiyon olsun. Bu takdirde f\circ {{I}_{X}}=f ve {{I}_{Y}}\circ f=f’tir.

İSPAT:

ÖNERME8: X,Y,Z,T kümeler, f:X\to Y, g:Y\to Z, h:Z\to T fonksiyonlar olsun. Bu takdirde h\circ \left( g\circ f \right)=\left( h\circ g \right)\circ f’tir.

İSPAT:

ÖNERME9: X,Y ve Z kümeler, f:X\to Y, g:Y\to Z fonksiyonlar olsun. Bu takdirde,

i) f ve g 1-1 ise g\circ f da 1-1’dir.

ii) f ve g örten ise g\circ f da örtendir.

iii) g\circ f 1-1 ise f de 1-1’dir.

iv) g\circ f örten ise g de örtendir.

İSPAT:

TANIM8: X,Y\ne \varnothing kümeler, f:X\to Y fonksiyon olsun.

i) f\circ R={{I}_{Y}} olacak biçimde R:Y\to X fonksiyonu varsa R’ye f’in sağ tersi,

ii) L\circ f={{I}_{X}} olacak biçimde L:Y\to X fonksiyonu varsa L’ye f’in sol tersi denir.

(i) ve (ii) tanımları şu biçimde de verilebilir:

i*) \forall y\in Y,\left( f\circ R \right)\left( y \right)=y olacak biçimde R:Y\to X fonksiyonu varsa R’ye f’in sağ tersi,

ii*) \forall x\in X,\left( L\circ f \right)\left( x \right)=x olacak biçimde L:Y\to X fonksiyonu varsa L’ye f’in sol tersi denir.

ÖNERME10: X,Y\ne \varnothing kümeler, f:X\to Y fonksiyon olsun. Bu takdirde,

i) f’in sağ tersi vardır \Leftrightarrow f örtendir.

ii) f’in sol tersi vardır \Leftrightarrow f 1-1’dir.

İSPAT:

Bir fonksiyonun sağ tersi varsa sol tersi olmak zorunda değildir. Benzer şekilde sol tersi varsa sağ tersi olmak zorunda değildir. Bunu örneklerle açıklayalım:

ÖRNEK15: f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f\left( x \right)={{e}^{x}} fonksiyonunu inceleyelim:

g:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}},\; g(y)=\bigg\{ \ln{y},\: y>0\\0,\:\:\:\:\: y\le{0}

olarak tanımlarsak,

\forall x\in \mathbb{R}, {{e}^{x}}>0 olduğundan \left( L\circ f \right)\left( x \right)=L\left( f\left( x \right) \right)=L\left( {{e}^{x}} \right)=\ln {{e}^{x}}=x olur. Buna göre L, f’in sol tersi olur.

Örnek15’da verdiğimiz f fonksiyonu 1-1 olduğundan bir sol tersi mevcut oldu. Fakat f\left( x \right)={{e}^{x}}fonksiyonu örten olmadığından Önerme10’a göre bir sağ tersi yoktur. Örnek15 bize bir fonksiyonun sağ tersi olmadığı halde sol tersinin olabileceğini gösterir.

ÖRNEK16: f:\mathbb{R}\to [0,+\infty), f\left( x \right)={{x}^{2}} fonksiyonunu ele alalım. Bu bir örten fonksiyon olduğundan sağ tersi vardır. R:[0,+\infty)\to \mathbb{R}, \forall y\in [0,+\infty), R\left( y \right)=\sqrt{y} olarak tanımlayalım. O halde \forall y\in [0,+\infty), \left( f\circ R \right)\left( y \right)=f\left( R\left( y \right) \right)=f\left( \sqrt{y} \right)={{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}=yolduğundan R, f’in sağ tersidir. Önerme10’a göre f fonksiyonu 1-1 olmadığından sol tersi olamaz.

ÖNERME11: X,Y,Z,T\ne \varnothing kümeler, f:X\to Y, {{f}_{1}},{{f}_{2}}:T\to X, {{g}_{1}},{{g}_{2}}:Y\to Z  fonksiyonlar olsun. Bu takdirde,

i) f, 1-1 ve f\circ {{f}_{1}}=f\circ {{f}_{2}} ise {{f}_{1}}={{f}_{2}} (1-1 fonksiyon sol kısalma özelliğine sahiptir)

ii) f, örten ve {{g}_{1}}\circ f={{g}_{2}}\circ f ise {{g}_{1}}={{g}_{2}} (örten fonksiyon sağ kısalma özelliğine sahiptir)

İSPAT:

Sol ve sağ tersin tanımı ve özelliklerini verdikten sonra, şimdi de ters fonksiyonun tanımına giriş yapalım:

X,Y\ne \varnothing kümeler, f:X\to Y fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun hem R sağ hem de L sol tersi olsun. Bu takdirde,

L=L\circ {{I}_{Y}}=L\circ \left( f\circ R \right)=\left( L\circ f \right)\circ R={{I}_{X}}\circ R=R elde edilir. Bunun anlamı şudur: Bir fonksiyonun hem sağ hem de sol tersi varsa, birbirine eşittir. İşte bu hem sağ hem de sol ters olan fonksiyona f’in ters fonksiyonu denir. Şimdi bu ters fonksiyonun tanımını daha düzgün biçimde verelim:

TANIM9: X,Y\ne \varnothing kümeler, f:X\to Y fonksiyon olsun. g\circ f={{I}_{X}} ve f\circ g={{I}_{Y}} olacak biçimde g:Y\to X fonksiyonu varsa g’ye f’in ters fonksiyonu denir.

ÖNERME12: X,Y\ne \varnothing kümeler, f:X\to Y fonksiyon olsun. Bu takdirde f’in tersinin var olabilmesi için gerek ve yeter koşul bu fonksiyonun 1-1 ve örten olmasıdır.

İSPAT: Bu ispat Önerme10’dan direkt elde edilir.

ÖRNEK17: f:\mathbb{R}\to {{\mathbb{R}}^{+}}, f\left( x \right)={{e}^{x}} olarak alırsak g:{{\mathbb{R}}^{+}}\to \mathbb{R}, g\left( y \right)=\ln y fonksiyonu f’in tersi olur. Çünkü

\forall x\in \mathbb{R},\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{e}^{x}} \right)=\ln {{e}^{x}}=x,

\forall y\in {{\mathbb{R}}^{+}},\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \ln y \right)={{e}^{\ln y}}=y.

ÖRNEK18: f:[0,+\infty)\to [0,+\infty), f\left( x \right)={{x}^{2}} olarak alırsak g:[0,+\infty)\to [0,+\infty), g\left( y \right)=\sqrt{y} fonksiyonu f’in tersi olur. Çünkü

\forall x\in [0,+\infty),\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{x}^{2}} \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|=x,

\forall y\in [0,+\infty),\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \sqrt{y} \right)={{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}=y.

ÖRNEK19: \displaystyle{f:\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)\to \mathbb{R}}, f\left( x \right)=\tan x olarak alırsak \displaystyle{g:\mathbb{R}\to \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}, g\left( y \right)=\arctan y fonksiyonu f’in tersi olur. Çünkü

\displaystyle{\forall x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right),\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( \tan x \right)=\arctan \left( \tan x \right)=x},

\forall y\in \mathbb{R},\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \arctan y \right)=\tan \left( \arctan y \right)=y.

X,Y\ne \varnothing kümeler ve {{g}_{1}},{{g}_{2}}:Y\to X fonksiyonları f:X\to Y fonksiyonunun iki tersi olsun. {{g}_{1}}, f’in tersi olduğundan aynı zamanda sol tersidir. Benzer şekilde {{g}_{2}} de f’in tersi olduğundan aynı zamanda sağ tersidir. Bir fonksiyonun sol ve sağ tersleri eşit olduğundan {{g}_{1}}={{g}_{2}} olduğu elde edilir. Sonuç olarak, bir fonksiyonun tersi varsa tektir. Bu tek ters fonksiyon {{f}^{-1}} ile gösterilir.

ÖNERME13: X,Y,Z\ne \varnothing kümeler, f:X\to Y, g:Y\to Z fonksiyonlar olsun. Bu takdirde,

i) f’in tersi varsa, {{f}^{-1}} fonksiyonunun da tersi vardır ve {{\left( {{f}^{-1}} \right)}^{-1}}=f’tir. Ayrıca {{f}^{-1}}, 1-1 ve örtendir.

ii) f’in ve g’nin tersi g\circ f’in de tersi vardır ve {{\left( g\circ f \right)}^{-1}}={{f}^{-1}}\circ {{g}^{-1}}’dir.

İSPAT:

TEOREM1: X\ne \varnothing bir küme G=\{f\;|\;f:X\rightarrow{X}\:\:\text{1-1 ve orten fonksiyondur}\} olsun. Bu takdirde (G,\circ), {{I}_{X}} birim elamanlı bir gruptur. G’nin değişmeli olması için gerek ve yeter koşul \left| X \right|\le 2 olmasıdır.

İSPAT:

TANIM10: X\ne \varnothing bir küme, f:X\to X fonksiyon ve n\in \mathbb{N} olsun. Bu takdirde {{f}^{0}}={{I}_{X}}, {{f}^{1}}=f, {{f}^{2}}=f\circ f ve

{{f}^{n}}=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}_{n \text{ tane}}

olarak tanımlanır.

 

Function

DEFINITION1: Let X and Y be two sets and f\subset{X\times{Y}} be a relation. If the following two conditions are provided, then the relation f is called a “function” with domain X and codomain Yand denoted by f:X\to{Y} or X\stackrel{f}{\rightarrow}{Y}.

1. \forall{x}\in{X}, \exists{y}\in{Y}: (x,y)\in{f},

2. (x,y),(x,y')\in{f}\Rightarrow{y=y'}.

Henceforth, when we write f:X\to{Y}, we will consider that “f is a function from X to Y”.

As is seen from the definition, a function is a relation mapping each element in the domain to a unique element in the codomain. So, the notation y=f(x) is generally used instead of the notations xfy and (x,y)\in{f} and read “x maps to y” or “x maps to f(x)”. The notation f(x) is read “f of x”. Each element of the domain is called an “argument” and for each x in the domain, the corresponding unique element y in the codomain is called “the function value at x”, “output ffor an element x” or “the image x” under the function f. The set defined as \{f(x)\:|\:x\in{X}\}\subset{Y} is called the “image” or the “range” of f. Sometimes a function is called a “map” or a “mapping”.

EXAMPLE1 (Identity function): Let X be a set. The function I_{X} over X defined as \forall{x}\in{X}, I_{X}(x)=x is called the “identity function” of X.

EXAMPLE2 (Constant function): Let X and Y be two non-empty set and c be a constant in Y. The function f from X to Y defined as \forall{x}\in{X}, f(x)=c is called a “constant function”.

EXAMPLE3 (Inclusion function): Let X be a set and A\subset{X}. The function i_{A} from A to X defined as \forall{a}\in{A}, i_{A}(a)=a is called an “inclusion function”.

EXAMPLE4 (Restriction and extension): Let f:X\to{Y} and A\subset{X}. The function f|_{A} from A toY defined as \forall{a}\in{A}, f|_{A}(a)=f(a) is called a “restriction” of f. Besides, f is called an “extension” of f|_{A}.

EXAMPLE5 (Characteristic function): Let X be a set and A\subset{X}. The function \chi_{A} from X to \{0,1\} defined as

\chi_{A}(x)=\bigg\{ 1,\text{ }x\in{A}\\0,\text{ }x\in{X\setminus{A}}

is called the “characteristic function” of A.

DEFINITION2: Let f,g:X\to{Y}. If \forall{x}\in{X}, f(x)=g(x), then the functions f and g are called “equal functions”.

DEFINITION3: Let f:X\to{Y}. If it holds f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow{x_{1}=x_{2}} for x_{1},x_{2}\in{X}, then fis called an “injective function”, an “injection” or an “one to one function”. Since the condition of being an injection is equivalent to the condition x_{1}\ne{x_{2}}\Rightarrow{f(x_{1})\ne{f(x_{2})}}, the last condition can be used as the definition of injection. As is seen from the definition, an injection is a function mapping two distinct arguments to two distinct images.

DEFINITION4: Let f:X\to{Y}. If it holds \forall{y}\in{Y}, \exists{x}\in{X} : f(x)=y, then f is called a “surjective function”, a “surjection” or an “onto function”. A function is a surjection if and only if its image equal to its codomain.

DEFINITION5: A function is called a “bijective function”, a “bijection” or a “one to one correspondence” if it is both injective and surjective. The identity function of a set in Example1 can be given as an example.

EXAMPLE6: Let’s examine the following three functions f, g and h:

f is injective because it separately maps the elements of X to the elements of Y. However, for e inY, there is no an element x in X satisfying f(x)=e.

g is surjective because each element of B is the image of at least one element in A (g(2)=a, g(5)=b, g(1)=c, g(4)=d). However, g is not injective because g(3)=g(4) but3\ne{4}.

As is seen from the above figure, the function h is both injective and surjective i.e., h is a bijection.

The above three examples show us a function is injective if and only if any two arrows leaving from the domain don’t arrive the same images in the codomain, and a function is surjective if and only if for each element in the codomain, there exists at least one arrow leaving from the domain such that the arrow arrives this element. Unfortunately, these necessary and sufficient conditions cannot be used for a function whose domain or codomain has infinitely many elements because an infinite setcannot be displayed by the Venn diagram. There are many different ways for testing whether a function whose domain or codomain has infinitely many elements is injective (or surjective) or not. Let’s give some examples concerning the infinite sets:

EXAMPLE7: Let a,b\in{\mathbb{R}}, a\ne{0}, f:\mathbb{R}\to{\mathbb{R}}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}, f(x)=ax+b. f is injective because x_{1},x_{2}\in{\mathbb{R}}, f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow{ax_{1}+b=ax_{2}+b}\Rightarrow{ax_{1}=ax_{2}\land{a\ne{0}}} \Rightarrow{x_{1}=x_{2}}.

Choose \displaystyle{x=\frac{y-b}{a}} for any y in \mathbb{R}. Then, \displaystyle{f(x)=f(\frac{y-b}{a})=a\frac{y-b}{a}+b=y-b+b=y}. Hence f is surjective. Since f is both injective and surjective, it is a bijection.

EXAMPLE8: Let f:\mathbb{R}\to{\mathbb{R}}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}, f(x)=x^{2}.

f is not injective because f(-1)=(-1)^{2}=1=1^{2}=f(1) but -1\ne{1}.

f is not surjective because there is no an element in \mathbb{R} such that f(x)=x^{2}=-1 for y=-1 in\mathbb{R}.

EXAMPLE9: Consider the above function f(x)=x^{2} as \mathbb{R}\to{[0,+\infty)}. Actually, the function is the same as the above function. Its codomain is only changed. Under the given conditions, we will investigate whether this function is injective (surjective) or not:

Let y\in{[0+\infty)}. Since y\ge{0}, it has the square root \sqrt{y}. Choose x=\sqrt{y}\in{\mathbb{R}}. Since f(x)=f\left( \sqrt{y} \right)=\left( \sqrt{y} \right)^{2}=|y|=y, then f is surjective. As above, f is not injective because f(-1)=f(1)=1 but -1\ne{1} for -1,1 in the domain.

EXAMPLE10: This time, we consider the function f(x)=x^{2} as [0,+\infty)\to{[0,+\infty)}. Then, similar to example9, one can prove that f is surjective. Now, we will investigate f is whether injective or not: Take {{x}_{1}},{{x}_{2}} in [0,+\infty).

f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)\Rightarrow x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\Rightarrow \sqrt{x_{1}^{2}}=\sqrt{x_{2}^{2}}\Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=\left| {{x}_{2}} \right|\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}.

So, f is injective.

Depending on the domain and the codomain of a function, the injectivity or the surjectivity can be changed. When the injectivity or the surjectivity of the function f(x)=x^{2} is asked, one should ask this question: What are the domain and the codomain of this function.

PROPOSITION1: Let X and Y be two sets with n elements and f:X\to{Y}. Then,

f is injective if and only if it is surjective.

PROOF:

The above proposition is available for the finite sets. Over the infinite sets, an injective function doesn’t have to be surjective and a surjective function doesn’t have to be injective. The function f(x)=e^{x} from \mathbb{R} to \mathbb{R} is injective. However, it is not surjective because it is positive-valued.

DEFINITION6: Let X and Y be two sets, f:X\to{Y}, A\subset{X} and B\subset{Y}. The sets defined as

f(A)=\{f(x)\text{ }\vert\text{ }x\in{A}\},

f^{-1}(B)=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }f(x)\in{B}\}

are called the image of A under f and the preimage or the inverse image of B under f, respectively. As is seen from the definition, f(A) is formed the images of the elements of A and f^{-1}(B) is formed the elements in X whose images are in B. Particularly, if it is chosen by A=X, then f(X) is range and denoted by \text{Im}f. It is clear that f(A)\subset{Y}, f^{-1}(B)\subset{X}, f(\varnothing)=\varnothing and f^{-1}(\varnothing)=\varnothing.

EXAMPLE11: X=\{1,2,3,4\}, Y=\{a,b,c,d,e\}, f(1)=a, f(2)=e, f(3)=e, f(4)=d, A_{1}=\{1,4\}A_{2}=\{2,3\}, A_{3}=\{1,2,4\}, A_{4}=X, B_{1}=\{e\}, B_{2}=\{b,c\}B_{3}=\{a,b,c,d\} and B_{4}=Y. Then,

f(A_{1})=\{a,d\},

f(A_{2})=\{e\},

f(A_{3})=\{a,d,e\},

f(A_{4})=f(X)=\{a,d,e\},

f^{-1}(B_{1})=\{2,3\},

f^{-1}(B_{2})=\varnothing,

f^{-1}(B_{3})=\{1,4\},

f^{-1}(B_{4})=f^{-1}(Y)=X.

PROPOSITION2: Let X and Y be two sets, f:X\to{Y}, A,B\subset{X} and C,D\subset{Y}. Then,

a) A\subset{B}\Rightarrow{f(A)\subset{f(B)}},

b) C\subset{D}\Rightarrow{f^{-1}(C)\subset{f^{-1}(D)}}.

PROOF:

PROPOSITION3: Let X and Y be two sets and f:X\to{Y}. If I and \Lambda are two index sets and \{A_{i}\}_{i\in{I}}\subset{\mathbf{P}(X)}, \{B_{\lambda}\}_{\lambda\in{\Lambda}}\subset{\mathbf{P}(Y)} are two families, then

a) \displaystyle{f\Big{(}\bigcup_{i\in{I}}{A_{i}}\Big{)}=\bigcup_{i\in{I}}{f(A_{i})}},

b) \displaystyle{f\Big{(}\bigcap_{i\in{I}}{A_{i}}\Big{)}\subset{\bigcap_{i\in{I}}{f(A_{i})}}},

c) \displaystyle{f^{-1}\Big{(}\bigcup_{\lambda\in{\Lambda}}{B_{\lambda}}\Big{)}=\bigcup_{\lambda\in{\Lambda}}{f^{-1}(B_{\lambda})}},

d) \displaystyle{f^{-1}\Big{(}\bigcap_{\lambda\in{\Lambda}}{B_{\lambda}}\Big{)}=\bigcap_{\lambda\in{\Lambda}}{f^{-1}(B_{\lambda})}}.

PROOF:

COROLLARY1: Let X and Y be two sets, f:X\to{Y}, A,B\subset{X} and C,D\subset{Y}. Then,

a) f(A\cup{B})=f(A)\cup{f(B)},

b) f(A\cap{B})\subset{f(A)\cap{f(B)}},

c) f^{-1}(C\cup{D})=f^{-1}(C)\cup{f^{-1}(D)},

d) f^{-1}(C\cap{D})=f^{-1}(C)\cap{f^{-1}(D)}.

The property “b” in the proposition3 and its corollary attracts our attention.  Although there are the equalities in the properties “a”, “c” and “d”, we can only say that f(A\cap{B}) is a subset of f(A)\cap{f(B)}. It is interesting. Since f(A\cap{B}) is a subset of f(A)\cap{f(B)}, it may be equal. According to proposition1, there are two probabilities: f(A\cap{B})\subsetneqq{f(A)\cap{f(B)}} and f(A\cap{B})=f(A)\cap{f(B)}. The identity function of a set is an example for the second probability. Is there any example for the first probability? The following example is the answer of this question:

EXAMPLE12: Choose X=\{1,2\}, Y=\{a\}, A=\{1\}, B=\{2\} and define  f:X\to{Y} as f(1)=f(2)=a. It is clear that f is a function. Since A\cap{B}=\varnothing, then f(A\cap{B})=\varnothing. On the other hand, since f(A)=f(B)=\{a\}, then f(A)\cap{f(B)}=\{a\}. As is seen, f(A\cap{B})\subsetneqq{f(A)\cap{f(B)}}.

There are many examples for the two probabilities. Is there any criterion determining whether the left side is equal to the right side or not? The following proposition is the answer this question:

PROPOSITION4: Let f:X\to{Y}. Then,

\forall{A,B}\subset{X}, f(A\cap{B})=f(A)\cap{f(B)}\Leftrightarrow{f} is injective.

PROOF:

PROPOSITION5: Let f:X\to{Y}. Then,

a) \forall{A}\subset{X}, A\subset{f^{-1}(f(A))},

b) \forall{B}\subset{Y}, f(f^{-1}(B))\subset{B}.

PROOF:

PROPOSITION6: Let f:X\to{Y}. Then,

a) f is injective \iff \forall{A}\subset{X}, f^{-1}(f(A))=A,

b) f is surjective \iff \forall{B}\subset{Y}, f(f^{-1}(B))=B,

c) f is bijective \iff \forall{A}\subset{X}, f(A^{C})=f(A)^{C}.

PROOF:

DEFINITION7: Let f:X\to Y and g:Y\to Z. The function g\circ f:X\to Z defined as \forall x\in X,\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right) is called the composition of the functions f and g. (Note that the codomain of f is equal to the domain of g)

EXAMPLE13: Choose X=Y=Z=\mathbb{R}, f\left( x \right)=\sin x and g\left( x \right)={{e}^{x}}. Then, \left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( \sin x \right)={{e}^{\sin x}}.

Let f and g be two functions with suitably chosen domains and codomains. Is g\circ{f} equal to f\circ{g}? We will answer this question by the help of an example:

EXAMPLE14: Choose X=Y=Z=\mathbb{R}, f\left( x \right)={{x}^{2}} and g\left( x \right)=x+1. Since

\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{x}^{2}} \right)={{x}^{2}}+1

and

\left( f\circ g \right)\left( x \right)=f\left( g\left( x \right) \right)=f\left( x+1 \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}},

then g\circ f\ne f\circ g. We have just obtained an example about g\circ f\ne f\circ g. Is the proposition g\circ f\ne f\circ g always true? The answer of this question is “no”. For example, if we choose f\left( x \right)=2x and g\left( x \right)=3x, then

\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( 2x \right)=3\left( 2x \right)=6x

and

\left( f\circ g \right)\left( x \right)=f\left( g\left( x \right) \right)=f\left( 3x \right)=2\left( 3x \right)=6x.

I.e., When we choose f\left( x \right)=2x and g\left( x \right)=3x, it holds g\circ f=f\circ g. Consequently, if fand g are two functions with suitably chosen domains and codomains, then there are two probabilities: g\circ f=f\circ g and g\circ f\ne f\circ g.

PROPOSITION7: Let f:X\to{Y}. Then, f\circ {{I}_{X}}=f and {{I}_{Y}}\circ f=f.

PROOF:

PROPOSITION8: Let f:X\to Y, g:Y\to Z and h:Z\to T. Then, h\circ \left( g\circ f \right)=\left( h\circ g \right)\circ f.

PROOF:

PROPOSITION9: Let f:X\to Y and g:Y\to Z. Then,

a) If f and g are injective, then g\circ f is also injective.

b) If f and g are surjective, then g\circ f is also surjective.

c) If g\circ f is injective, then f is also injective.

d) If g\circ f is surjective, then g is also surjective.

PROOF:

DEFINITION8: Let f:X\to Y.

i) If there exists at least one function R:Y\to X such that f\circ R={{I}_{Y}}, then the function R is called a right inverse of f.

ii) If there exists at least one function L:Y\to X such that L\circ f={{I}_{X}}, then the function L is called a left inverse of f.

The definitions (i) and (ii) can be given by the follows:

i*) If there exists at least one function R:Y\to X such that \forall y\in Y,\left( f\circ R \right)\left( y \right)=y, then the function R is called a right inverse of f.

ii*) If there exists at least one function L:Y\to X such that \forall x\in X,\left( L\circ f \right)\left( x \right)=x, then the function L is called a left inverse of f.

PROPOSITION10: Let f:X\to{Y}. Then,

a) There exists at least one right inverse of f \Leftrightarrow f is surjective.

b) There exists at least one left inverse of f \Leftrightarrow f is injective.

PROOF:

EXAMPLE15: Choose f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} by f\left( x \right)={{e}^{x}}. If we define L:\mathbb{R}\to{\mathbb{R}} as

L(y)=\bigg\{ \ln{y},\: y>0\\0,\:\:\:\:\: y\le{0}

then it holds \left( L\circ f \right)\left( x \right)=L\left( f\left( x \right) \right)=L\left( {{e}^{x}} \right)=\ln {{e}^{x}}=x \ln{e}=x because \forall x\in \mathbb{R}, {{e}^{x}}>0. So, f has a left inverse.

Since the function f given in example15 is injective, then it has a left inverse. However, according to proposition10, it has no a right inverse because it is not surjective. Example15 shows that a function can have a left inverse although it has no a right inverse.

EXAMPLE16: Choose f:\mathbb{R} \to [0,+\infty) by f\left( x \right)={{x}^{2}}. Since it is surjective, then it has a right inverse. Define R:[0,+\infty)\to \mathbb{R} as R\left( y \right)=\sqrt{y}. Since \forall y\in [0,+\infty), \left( f\circ R \right)\left( y \right)=f\left( R\left( y \right) \right)=f\left( \sqrt{y} \right)={{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}=|y|=y, then R is a right inverse of f. According to proposition10, f has no a left inverse because it is not injective.

PROPOSITION11: Let f:X\to{Y}, {{f}_{1}},{{f}_{2}}:T\to X and {{g}_{1}},{{g}_{2}}:Y\to Z. Then,

a) If f is injective and f\circ {{f}_{1}}=f\circ {{f}_{2}}, then {{f}_{1}}={{f}_{2}} (an injective function has the left cancellation property)

b) If f is surjective and {{g}_{1}}\circ f={{g}_{2}}\circ f, then {{g}_{1}}={{g}_{2}} (a surjective function has the right cancellation property)

PROOF:

Now, let’s introduce the inverse function:

Let f:X\to{Y}. Assume that L and R are left and right inverses of f, respectively. Then,

L=L\circ {{I}_{Y}}=L\circ \left( f\circ R \right)=\left( L\circ f \right)\circ R={{I}_{X}}\circ R=R. I.e., if a function has both left and right inverses, then these are equal to each other. A function being both left inverse and right inverse of f is called an inverse of f. Now, let’s give the definition of “inverse”, more properly:

DEFINITION9: Let f:X\to{Y}. If there exists a function g such as g\circ f={{I}_{X}} and f\circ g={{I}_{Y}}, then the function g is called an inverse of f. Besides, f is called invertible.

PROPOSITION12: Let f:X\to{Y}. Then, f has an inverse if and only if f is bijective.

PROOF: The proof of this proposition can be directly obtained from Proposition10.

EXAMPLE17: If we choose f:\mathbb{R}\to {{\mathbb{R}}^{+}} by f\left( x \right)={{e}^{x}}, then the function g:{{\mathbb{R}}^{+}}\to \mathbb{R} defined by g\left( y \right)=\ln y is an inverse of f because

\forall x\in \mathbb{R},\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{e}^{x}} \right)=\ln {{e}^{x}}=x

and

\forall y\in {{\mathbb{R}}^{+}},\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \ln y \right)={{e}^{\ln y}}=y.

EXAMPLE18: If we choose f:[0,+\infty)\to [0,+\infty) by f\left( x \right)={{x}^{2}}, then the function g:[0,+\infty)\to [0,+\infty) defined by g\left( y \right)=\sqrt{y} is an inverse of f because

\forall x\in [0,+\infty),\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{x}^{2}} \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|=x

and

\forall y\in [0,+\infty),\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \sqrt{y} \right)={{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}=y.

EXAMPLE19: If we choose \displaystyle{f:\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)\to \mathbb{R}} by f\left( x \right)=\tan x then the function \displaystyle{g:\mathbb{R}\to \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)} defined by g\left( y \right)=\arctan y is an inverse of f because

\displaystyle{\forall x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right),\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( \tan x \right)=\arctan \left( \tan x \right)=x}

and

\forall y\in \mathbb{R},\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \arctan y \right)=\tan \left( \arctan y \right)=y.

Let the functions {{g}_{1}},{{g}_{2}}:Y\to X be two inverses of the function f:X\to Y. Then {{g}_{1}} is a left inverse of f and {{g}_{2}} is a right inverse of f. We have shown that a left inverse and a right inverse of a function are equal to each other. So, {{g}_{1}}={{g}_{2}}. Consequently, If there exists an inverse of a function, then it is unique. This unique inverse is denoted by f^{-1}.

PROPOSITION13: Let f:X\to Y, g:Y\to Z. Then,

a) If f is invertible, then {{f}^{-1}} is also invertible and {{\left( {{f}^{-1}} \right)}^{-1}}=f. Besides, {{f}^{-1}} is bijective.

b) If f and g are invertible, then g\circ f is invertible and {{\left( g\circ f \right)}^{-1}}={{f}^{-1}}\circ {{g}^{-1}}.

PROOF:

THEOREM1: Let X be a non-empty set and G=\{f\;|\;f:X\to{X}\:\:\text{is bijective}\}. Then (G,\circ)is a group with the identity element I_{X}. G is commutative if and only if \left| X \right|\le 2.

PROOF:

DEFINITION10: Let X be a non-empty set and f:X\to{X}. Then we can define as,

{{f}^{0}}={{I}_{X}}, {{f}^{1}}=f, {{f}^{2}}=f\circ f and

{{f}^{n}}=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}_{n \text{ times}}.

Where n is a natural number.

Share this post

Bir cevap yazın