Oops! It appears that you have disabled your Javascript. In order for you to see this page as it is meant to appear, we ask that you please re-enable your Javascript!
pornolar

Kısmi Sıralama Bağıntısı-Partial Order Relation

Kısmi Sıralama Bağıntısı-Partial Order Relation

TANIM1: X bir küme R\subset{X\times{X}} bir bağıntı olsun. Eğer R, yansıyan, ters simetrik ve geçişken bir bağıntı ise R'ye bir "kısmi sıralama bağıntısı" denir ve genelde R=\le biçiminde gösterilir. \le, X üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı ise (X,\le) ikilisine kısmi sıralanmış küme denir.

TANIM2: (X,\le) kısmi sıralı bir küme, x,y\in{X} olsun. Eğer x\le{y}\lor{y\le{x}} önermesi doğru ise x ve y elemanlarına karşılaştırılabilir denir.

TANIM3: (X,\le) kısmi sıralı bir küme olsun. Eğer, \forall{x,y\in{X}}, x ve y karşılaştırılabilir ise (X,\le)'ye tam sıralı küme denir.

TANIM4: (X,\le) kısmi sıralı bir küme, A\subset{X} olsun. Eğer (A,\le) tam sıralı bir küme ise A'ya X'de bir zincir denir.

TANIM5: (X,\le) kısmi sıralı bir küme, A\subset{X} olsun. \forall{a}\in{A}, a_{*}\le{a} olacak biçimde a_{*}\in{A}varsa a_{*}'a A'nin minimumu, \forall{a}\in{A}, a\le{a^{*}} olacak biçimde a^{*}\in{A} varsa a^{*}'a A'nin maksimumu denir. A'nin minimumu ve maksimumu sırasıyla \min{A} ve \max{A} ile gösterilir.

TANIM6: (X,\le) kısmi sıralı bir küme olsun. A\ne{\emptyset} olan \forall{A}\subset{X}, A'nın minimumu varsa (X,\le)'e iyi sıralı küme denir.

ÖNERME1: (X,\le) iyi sıralı ise tam sıralıdır.

ÖRNEK1: Reel sayılar kümesi bilinen "küçük eşit" bağıntısına göre tam sıralıdır. Fakat iyi sıralı değildir. (0,1)\subset{\mathbb{R}} kümesi (0,1)\ne{\emptyset} olduğu halde minimumu yoktur. Benzer şekilde Tamsayılarkümesi de tam sıralı fakat iyi sıralı değildir çünkü Tamsayılar kümesinin kendisinin minimumu yoktur.

ÖRNEK2: Doğal sayılar kümesi iyi sıralıdır. Ayrıca bir (X,\le) kümesi iyi sıralı ise onun her altkümesi de iyi sıralıdır.

ÖRNEK3: E bir küme, X=\mathbf{P}(E) olsun. Bu takdirde içerme bağıntısına göre (X,\subset) kısmi sıralı bir kümedir. İçerme bağıntısı, her küme kendisinin alt kümesi olduğundan yansıyan, A\subset{B}\land{B\subset{A}}\Rightarrow{A=B} olduğundan ters simetrik ve A\subset{B}\land{B\subset{C}}\Rightarrow{A\subset{C}}olduğundan geçişkendir (A,B,C\subset{E}). E kümesi farklı iki a ve b elemanlarına sahip olsun. A=\{a\}, B=\{b\} olarak alırsak A\nsubseteq{B} ve B\nsubseteq{A} olduğundan (\mathbf{P}(E),\subset) tam sıralı değildir. Yani, E kümesinin 2 ya da daha fazla elemanı varsa (\mathbf{P}(E),\subset)'de karşılaştırılamayan elemanlar vardır. Ayrıca (\mathbf{P}(E),\subset) tam sıralıdır \iff \arrowvert{E}\arrowvert\le{1}. E=\mathbb{N} olsun. \mathbb{N} sonsuz elemanlı olduğundan (\mathbf{P}(\mathbb{N}),\subset) tam sıralı değildir. Fakat burada bir zincir örneği verebiliriz. A_{0}=\emptyset, A_{1}=\{1\}, A_{2}=\{1,2\}, A_{3}=\{1,2,3\},\dots, A_{n}=\{1,2,\dots,n\} olsun. F=\{A_{n}\text{ }\vert\text{ }n\in{\mathbb{N}}\}olarak alırsak A_{n}\subset{A_{m}}\Leftrightarrow{n\le{m}} olduğundan F, (\mathbf{P}(\mathbb{N}),\subset)'nin bir zinciridir.

ÖRNEK4: X=\mathbb{N} olsun. R\subset{\mathbb{N}\times{\mathbb{N}}} bağıntısını n,m\in{\mathbb{N}} olmak üzere nRm\Leftrightarrow{n\arrowvert{m}} olarak tanımlayalım (n\arrowvert{m}\Leftrightarrow{n}, m'i böler \Leftrightarrow{\exists{k}\in{\mathbb{N}}: m=k.n}). Her doğal sayı kendini böldüğünden R yansıyan, n\arrowvert{m}\land{m\arrowvert{n}}\Rightarrow{m=n} olduğundan R ters simetrik ve n\arrowvert{m}\land{m\arrowvert{k}}\Rightarrow{n\arrowvert{k}}olduğundan R geçişkendir. O halde R, \mathbb{N} üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır. 2\nmid{3} ve 3\nmid{2}olduğundan 2 ve 3 karşılaştırılamazlar. Bu yüzden R, \mathbb{N} üzerinde tam sıralama bağıntısı değildir. R bağıntısına göre \mathbb{N}'in bir zincirini vermek istersek n>1 sabit bir doğal sayı olmak üzere F=\{n^k\text{ }\vert\text{ }k\in{\mathbb{N}}\} örneğini verebiliriz. Kolayca görülür ki bu küme bir zincirdir.

TANIM7: (X,\le) kısmi sıralı bir küme, A\subset{X}, x_{0}\in{X} olsun. \forall{a}\in{A}, a\le{x_{0}} ise x_{0}'a A'nın bir üst sınırı, \forall{a}\in{A}, x_{0}\le{a} ise x_{0}'a A'nın bir alt sınırı denir. (Burada x_{0} elemanının A'dan seçilme zorunluluğunun olmamasına dikkat ediniz. Bir kümenin üst veya alt sınırı kümye dahil olmak zorunda değildir. Zaten x_{0} elemanı A'da olsaydı, üst sınır yerine maksimum, alt sınır yerine de minimum geçerdi. Bu tanım maksimum ve minimum tanımı ile karıştırılmamalıdır. Bir kümeninmaksimumu veya minimumu varsa tektir. Fakat bir kümenin üst veya alt sınırı birden fazla, hatta sonsuz tane olabilir. Ayrıca, bir kümenin maksimumu varsa bu maksimum zaten o kümenin aynı zamanda bir üst sınırıdır. Fakat bir kümenin maksimumu olmadığı halde üst sınırları var olabilir veya kümenin maksimumu varsa bu maksimumdan farklı üst sınırlar olabilir. Benzer durum minimum için de geçerlidir.  Bu söylediklerimizi bir örnekle açıklayalım)

ÖRNEK5: X=\mathbb{R}, A=(0,1) olsun. A'nın maksimumu yoktur. Fakat \forall{a}\in{A}, a\le{1}olduğundan 1, A'nın bir üst sınırıdır. Benzer şekilde \forall{a}\in{A}, a\le{12} olduğundan 12 de A'nın bir üst sınırıdır. A'nın bütün üst sınırları kümesini A^{*} ile gösterirsek A^{*}=[1,+\infty) olduğu açıktır. Görüldüğü gibi A'nın sonsuz tane üst sınırı vardır. A'nin alt sınırlarının kümesini de A_{*} ile gösterirsek A_{*}=(-\infty,0] olduğunu söyleyebiliriz. A'nın minimumu olmadığı halde sonsuz tane alt sınırı vardır.

TANIM8: (X,\le) kısmi sıralı bir küme, A\subset{X} olsun. A^{*}=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }\forall{a}\in{A}, a\le{x}\}, A'nın tüm üst sınırlarının kümesi ve A_{*}=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }\forall{a}\in{A}, x\le{a}\}, A'nın tüm alt sınırlarınınkümesi olsun. Eğer \overline{x}=\min{A^{*}} varsa \overline{x}'ye A'nın supremumu, \underline{x}=\max{A_{*}} varsa \underline{x}'ye A'nın infimumu denir. A'nın supremumu ve infimumu sırasıyla \sup{A} ve \inf{A} ile gösterilir. Akümesinin supremumu üst sınırlarının en küçüğü, infimumu ise alt sınırlarının en büyüğüdür.

SUPREMUM VE İNFİMUMUN ÖZELLİKLERİ:

1) Bir kümenin infimumu ve supremumu varsa tektir.

2) Bir A kümesinin minimumu varsa infimumu da vardır ve \inf{A}=\min{A}'dır. Bir A kümesininmaksimumu varsa supremumu da vardır ve \sup{A}=\max{A}'dir. Fakat bunun tersi genelde doğru değildir. Bir kümenin supremumu varsa maksimumu, infimumu varsa minimumu olmak zorunda değildir.

3) X=\mathbb{R} olsun. Bu takdirde A=\emptyset seçersek \sup{\emptyset}=-\infty, \inf{\emptyset}=+\infty olur. Eğer A\subset{\mathbb{R}}kümesinin üst sınırı yoksa, yani \forall{x}\in{\mathbb{R}}, \exists{a}\in{A}: x\le{a} ise \sup{A}=+\infty, alt sınırı yoksa, yani \forall{x}\in{\mathbb{R}}, \exists{a}\in{A}: a\le{x} ise \inf{A}=-\infty olarak kabul edilir. Bu kabulle beraber şu önerme doğrudur: Reel sayılar kümesinin her alt kümesinin supremumu ve infimumu vardır.

4) X=\mathbb{R}, \emptyset\ne{A}\subset{\mathbb{R}}, l,L\in{\mathbb{R}} olsun. Bu takdirde

(i) \sup{A}=L \iff

a) \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b) \forall{\varepsilon}>0, \exists{a_{\varepsilon}}\in{A}: L-\varepsilon<a_{\varepsilon}.

(ii) \inf{A}=l \iff

a) \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b) \forall{\varepsilon}>0, \exists{a_{\varepsilon}}\in{A}: a_{\varepsilon}<l+\varepsilon.

5) \emptyset\ne{A}\subset{\mathbb{R}}, l,L\in{\mathbb{R}} olsun. Bu takdirde

(i) \sup{A}=L \iff

a) \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b) \displaystyle{\exists{(x_{n})}\subset{A}: \lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=L}

(ii) \inf{A}=l \iff

a) \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b) \displaystyle{\exists{(x_{n})}\subset{A}: \lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=l}

6) \emptyset\ne{A}\subset{\mathbb{R}}, l,L\in{\mathbb{R}} olsun. Topoloji bilenler için aşağıdaki kriteri de verebiliriz:

(i) \sup{A}=L \iff

a) \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b) L\in{\overline{A}}.

(ii) \inf{A}=l \iff

a) \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b) l\in{\overline{A}}.

(Burada \overline{A}, A kümesinin kapanışını göstermektedir)

ÖRNEK6: X=\mathbb{R}, A=(0,1) olsun. Örnek5'te de bahsedildiği gibi bu kümenin maksimumu ve minimumu yoktur. Üst sınırlarının kümesi A^{*}=[1,+\infty)'dur. O halde \sup{A}=\min{A}^{*}=\min{[1,+\infty)}=1'dir. Benzer yolla \inf{A}=0 olduğu kolayca görülür.

ÖRNEK7: E bir küme X=\mathbf{P}(E) olsun. Bilindiği gibi (\mathbf{P}(E),\subset) kısmi sıralı bir kümedir. S,T\subset{E}, A=\{S,T\} olsun. A\subset{X}'tir. Şimdi \sup{A}=\sup{\{S,T\}} ve \inf{A}=\inf{\{S,T\}}'yi araştıralım. Yani iki kümenin içerme bağıntısına göre supremumunu ve infimumunu araştıralım. S\subset{S\cup{T}} ve T\subset{S\cup{T}} olduğundan S\cup{T} kümesi \{S,T\} için bir üst sınırdır. U\in{X}kümesi \{S,T\} için başka bir üst sınır olsun. O halde S\subset{U} ve T\subset{U} sağlanır. Buradan S\cup{T}\subset{U} olduğu görülür. O halde \{S,T\} kümesinin en küçük üst sınırı S\cup{T}'dir. Yani \sup{\{S,T\}}=S\cup{T}'dir. Benzer şeklide \inf{\{S,T\}}=S\cap{T}'dir. I bir indis kümesi \{S_{i}\}_{i\in{I}}\subset{X}, E'nin alt kümelerinin bir ailesi olsun. Bu takdirde

\displaystyle{\sup_{i\in{I}}S_{i}=\bigcup_{i\in{I}}S_{i}} ve \displaystyle{\inf_{i\in{I}}S_{i}=\bigcap_{i\in{I}}S_{i}}

sağlanır. Bu eşitliklerin ispatı iki küme için yapılan ispatın tamamen aynısıdır.

ÖRNEK8: X=\mathbb{N} olsun. Kısmi sıralama bağıntısını Örnek4'deki "n\mid{m} \iff n, m'i böler" olarak alalım. n,m\in{\mathbb{N}} olsun. Gösterelim ki \sup{\{n,m\}}=\text{ekok}\{n,m\}=[n,m] ve \inf{\{n,m\}}=\text{ebob}\{n,m\}=(n,m)'dir. Önce supremum için ispat yapalım. n\mid{[n,m]} ve m\mid{[n,m]} olduğundan [n,m], \{n,m\} kümesi için bir üst sınırdır. k\in{\mathbb{N}}, \{n,m\} kümesi için başka bir üst sınır olsun. O halde n\mid{k} ve m\mid{k} olur. Dolayısıyla [n,m]\mid{k} sağlanır. Sonuç olarak[n,m], \{n,m\} kümesinin en küçük üst sınırıdır. Şimdi infimum için ispata geçelim. (n,m)\mid{n} ve (n,m)\mid{m} olduğundan (n,m), \{n,m\} kümesi için bir alt sınırdır. k\in{\mathbb{N}}, \{n,m\} kümesi için başka bir alt sınır olsun. O halde k\mid{n} ve k\mid{m} olur. Dolayısıyla k\mid{(n,m)} sağlanır. Sonuç olarak(n,m), \{n,m\} kümesinin en büyük alt sınırıdır.

TANIM9: (X,\le) kısmi sıralı bir küme, A\subset{X} ve m,M\in{A} olsun.

(i) M\le{a} olan \forall{a}\in{A}, M=a ise M\in{A}'ya A'nın bir maksimal elemanı denir.

(ii) a\le{m} olan \forall{a}\in{A}, m=a ise m\in{A}'ya A'nın bir minimal elemanı denir.

MAKSİMAL VE MİNİMAL ELEMANLARIN ÖZELLİKLERİ:

1) Maksimal ve minimal elemanın başka bir ifadesi: M\in{A} maksimal eleman ve a\in{A} olsun. Bu takdirde a, M ile karşılaştırılamaz ya da a=M'dir. Yani M\le{a} ve M\ne{a} olan bir a\in{A}yoktur. Minimal eleman için de benzer ifade geçerlidir: m\in{A} minimal eleman ve a\in{A} olsun. Bu takdirde a, m ile karşılaştırılamaz ya da a=m'dir. Yani a\le{m} ve m\ne{a} olan bir a\in{A}yoktur.

2) A kümesinin maksimal ve minimal elemanları A kümesine dahildir.

3) Bir kümede maksimal eleman varsa maksimum eleman, minimal eleman varsa minimum eleman olmayabilir.

4) Bir kümenin maksimal ve minimal elemanları birden fazla olabilir.

5) a^{*}, A kümesinin maksimumu, a_{*}, A kümesinin minimumu ise a^{*} aynı zamanda A kümesinintek maksimal elemanı, a_{*} da A kümesinin tek minimal elemanıdır.

6) Eğer A bir zincir ve M maksimal eleman ise A'da başka maksimal eleman yoktur ve M aynı zamanda kümenin maksimumudur. Minimal eleman için de benzer ifade kullanılabilir: Eğer A bir zincir ve m minimal eleman ise A'da başka minimal eleman yoktur ve m aynı zamanda kümeninminimumudur.

ÖRNEK9: X=\mathbb{N} olsun. "n\mid{m} \iff n, m'i böler" kısmi sıralama bağıntısını alalım. A=\{2,3,4,5,12,15\}\subset{\mathbb{N}} olsun. A kümesinde 12'nin böldüğü 12'den başka eleman bulunmadığından 12\in{A}, A'nın bir maksimal elemanıdır. Benzer durum 15 için de geçerli olduğundan 15 de A'nın bir maksimal elemanıdır. A kümesinde 2'yi bölen 2'den başka eleman bulunmadığından 2\in{A}, A'nın bir minimal elemanıdır. Benzer şekilde 3 ve 5 de birer minimal elemandırlar. Bu kümede sadece 4 sayısı ne maksimal ne de minimal elemandır. n\mid{m} gösterimi yerine n\rightarrow{m} gösterimi kullanılırsa aşağıdaki diyagramdan maksimal ve minimal elemanların nasıl bulunacağı anlaşılır:

Ayrıca \text{ekok}A=60 ve \text{ebob}A=1 olduğundan \sup{A}=60 ve \inf{A}=1'dir.

ZORN LEMMASI: (X,\le) kısmi sıralı bir küme olsun. Eğer X'in tüm zincirlerinin bir üst sınırı varsa X'in en az bir maksimal elemanı vardır.

Partial Order Relation

DEFINITION1: Let X be a set and R\subset{X\times{X}}. If the relation R is reflexive, antisymmetric and transitive, then the relation R is called a “partial order relation” and denoted by R=\le in general. If “\le” is a partial order relation over a set X, then (X,\le) is called “partially ordered set” or shortly “poset”.

DEFINITION2: Let x and y are elements of a partially ordered set X. If it holds “x\le{y}\lor{y\le{x}}”, then x and y are called “comparable”. Otherwise they are called “incomparable”.

DEFINITION3: If x and y are comparable for all x,y in a partially ordered set (X,\le), then therelation \le is called a “total order” and the set X is called a “totally ordered set” or “linearly ordered set”.

DEFINITION4: Let (X,\le) be a partially ordered set and A\subset{X}. If (A,\le) is a totally ordered set, then A is called a “chain” in X.

DEFINITION5: Let (X,\le) be a partially ordered set and A\subset{X}. If there exists an element a^{*}\in{A}satisfying a\le{a^{*}} for all a\in{A}, then a^{*} is called the maximum of A, and if there exists an element a_{*}\in{A} satisfying a_{*}\le{a} for all a\in{A}, then a_{*} is called the minimum of A. The minimum and the maximum of A are denoted by \min{A} and \max{A} respectively.

DEFINITION6: If every non-empty subset of a partially ordered set (X,\le) has a minimum, then \leis called a “well order”, and (X,\le) is called a “well ordered set”.

PROPOSITION1: Every well ordered set is a totally ordered set.

EXAMPLE1: The set of the real numbers with well-known “at-most relation” (\le) is totally ordered but not well ordered because non-empty subset (0,1) has no a minimum. Similarly, the set of the integers is totally ordered but not well ordered because this set has no a minimum.

EXAMPLE2: The set of natural numbers is well ordered. Note that any non-empty subset of a well ordered set is also well ordered.

EXAMPLE3: Let E be a set and X=\mathbf{P}(E). Hence, the set X with the inclusion relation “\subset” is partially ordered set. The inclusion relation is, reflexive because every set is a subset of itself, antisymmetric because A\subset{B}\land{B\subset{A}}\Rightarrow{A=B} and transitive because A\subset{B}\land{B\subset{C}}\Rightarrow{A\subset{C}} (A,B,C\subset{E}). Consequently, the inclusion is a partial order. Assume the set E has two distinct elements such as a, b and choose A=\{a\}, B=\{b\}. Then, (\mathbf{P}(E),\subset) isn’t totally ordered because A\nsubseteq{B} and B\nsubseteq{A}. I.e., if the set E has more than one element, then \mathbf{P}(E) has at least two incomparable elements. Besides, (\mathbf{P}(E),\subset) is totally ordered if and only if \arrowvert{E}\arrowvert\le{1}. Choose E=\mathbb{N}. Since \mathbb{N} has infinitely many elements, \mathbf{P}(\mathbb{N}) isn’t totally ordered. However, we can give an example of chain in \mathbf{P}(\mathbb{N}): Choose A_{0}=\varnothing, A_{1}=\{1\}, A_{2}=\{1,2\}, A_{3}=\{1,2,3\}, \dots, A_{n}=\{1,2,\dots,n\}, \dots. If we define F=\{A_{n}\:|\:n\in{\mathbb{N}}\}, then F is a chain of \mathbf{P}(\mathbb{N})  because A_{n}\subset{A_{m}}\Leftrightarrow{n\le{m}}.

EXAMPLE4: For n,m\in{\mathbb{N}}, define nRm\Leftrightarrow{n\arrowvert{m}}. The relation R is called “division”. (n\arrowvert{m}\Leftrightarrow mcan be divided by n \Leftrightarrow{\exists{k}\in{\mathbb{N}}: m=k.n}). The division is, reflexive because every natural number can be divided by itself, antisymmetric because n\arrowvert{m}\land{m\arrowvert{n}}\Rightarrow{m=n} and transitive because n\arrowvert{m}\land{m\arrowvert{k}}\Rightarrow{n\arrowvert{k}}. Consequently, the division is a partial order. Since 2\nmid{3} and 3\nmid{2}, the numbers 2 and 3 are incomparable each other, i.e., \mathbb{N} isn’t a totally ordered set with the division relation. If we want to define a chain in \mathbb{N}, we can examine the subset F=\{n^k\:|\:k\in{\mathbb{N}}\}for the arbitrary constant n>1. It is clear that the subset F is a chain of \mathbb{N}.

DEFINITION7: Let (X,\le) be a partially ordered set, A\subset{X} and x_{0}\in{X}. If a\le{x_{0}} for all a\in{A}, then the element x_{0} is called an upper bound of the set A and if x_{0}\le{a} for all a\in{A}, then the element x_{0} is called a lower bound of the set A. If a subset of X has an upper bound and a lower bound, then this set is called a “bounded set”.

Note that x_{0} don’t have to be chosen in A. An upper bound or a lower bound of a set don’t have to be included by this set. If an upper bound or a lower bound of a set were included by this set, then we would use the term “maximum” instead of the term “upper bound” and the term “minimum” instead of the term “lower bound”. This definitions shouldn’t be confused with the definitions of the maximum and the minimum. If there is a minimum or maximum of a set, then it’s unique. However, the number of all the lower bounds or all the upper bounds of a set may be more than one, even infinity. Besides, if there is the maximum of a set, then it’s already an upper bound of this set. However, there may be one or more upper bounds of a set although there isn’t the maximum of this set. The same of the last truth is also valid for the minimum. We will explain what we say above by the help of an example:

EXAMPLE5: Let X=\mathbb{R} and A=(0,1). There isn’t the maximum of (0,1). However, 1 is an upper bound of (0,1) because a\le{1} for all a\in{(0,1)}. Similarly, 12 is also an upper bound of (0,1) because a\le{12} for all a\in{(0,1)}. Let A^{*} denote the set of all the upper bounds of (0,1)and A_{*} also denote the set of all the lower bounds. It is clear that A^{*}=[1,+\infty) and A_{*}=(-\infty,0]. As is seen, (0,1) has infinitely many upper bounds and lower bounds although there isn’t its minimum and maximum.

DEFINITION8: Let (X,\le) be a partially ordered set and A\subset{X}. A^{*}=\{x\in{X}\:|\:\forall{a}\in{A}, a\le{x}\} is the set of all the upper bounds of A and A_{*}=\{x\in{X}\:|\:\forall{a}\in{A}, x\le{a}\} is the set of all the lower bounds of A. If there is the minimum of A^{*}, then this minimum is called the “supremum” of A and if there is the maximum of A_{*}, then this maximum is called the “infimum” of A. If there is a supremum or infimum of A, then it’s obviously unique. The supremum and the infimum of a set A are denoted by \sup{A} and \inf{A}respectively. The supremum of a set is the least upper bound of this set and the infimum of a set is the greatest lower bound of this set.

THE PROPERTIES OF SUPREMUM AND INFIMUM:

1) If there is a supremum or infimum of a set, then it’s unique.

2) If there is the maximum of a set, then the maximum is also the supremum of this set. Similarly, if there is the minimum of a set, then the minimum is also the infimum of this set. However, the opposite of this isn’t true in general. I.e., there may not be the maximum of a set although there is the supremum of this set. Similarly, there may not be the minimum of a set although there is the infimum of this set. (See: example6)

3) Any subset of the real numbers has the infimum and the supremum.

4) Let X=\mathbb{R}, \varnothing\ne{A}\subset{\mathbb{R}} and l,L\in{\mathbb{R}}. Then,

(i) \sup{A}=L \iff

a) \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b) \forall{\varepsilon}>0, \exists{a_{\varepsilon}}\in{A}: L-\varepsilon<a_{\varepsilon}.

(ii) \inf{A}=l \iff

a) \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b) \forall{\varepsilon}>0, \exists{a_{\varepsilon}}\in{A}: a_{\varepsilon}<l+\varepsilon.

5) Let X=\mathbb{R}, \varnothing\ne{A}\subset{\mathbb{R}} and l,L\in{\mathbb{R}}. Then,

(i) \sup{A}=L \iff

a) \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b) \displaystyle{\exists{(x_{n})\subset{A}}: \lim_{n\to{\infty}}x_{n}=L}

(ii) \inf{A}=l \iff

a) \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b) \displaystyle{\exists{(x_{n})\subset{A}}: \lim_{n\to{\infty}}x_{n}=l}

6) Let X=\mathbb{R}, \varnothing\ne{A}\subset{\mathbb{R}} and l,L\in{\mathbb{R}}. We can give the following property for the people who know the topology:

(i) \sup{A}=L \iff

a) \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b) L\in{\overline{A}}.

(ii) \inf{A}=l \iff

a) \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b) l\in{\overline{A}}.

(Where \overline{A} denotes the closure of A).

EXAMPLE6: It was mentioned that (0,1)\subset{\mathbb{R}} has no minimum and maximum in example5. The setof all the upper bounds of (0,1) is A^{*}=[1,+\infty). Hence, the equality \sup{A}=\min{A}^{*}=\min{[1,+\infty)}=1 is true. Similarly, the equality \inf{A}=0 is also true.

EXAMPLE7: Let E be a set and X=\mathbf{P}(E). As it is well known, (\mathbf{P}(E),\subset) is a partially ordered. S,T\subset{E}, A=\{S,T\}\subset{\mathbf{P}(E)}. Now, let’s analyse \sup{A}=\sup\{S,T\} and \inf{A}=\inf\{S,T\}. I.e., we will find the supremum and the infimum of two sets S and T. Since S\subset{S\cup{T}} and T\subset{S\cup{T}}, the set S\cup{T} is an upper bound of the set \{S,T\}. Assume that Uis another upper bound of \{S,T\}. Then, S\subset{U} and T\subset{U}. So, S\cup{T}\subset{U} is obtained. Consequently, the least upper bound of \{S,T\} is the union of S and T i.e., S\cup{T}. Similarly, one can easily prove the equality \inf\{S,T\}=S\cap{T}. Let I be an index set and \{S_{i}\}_{i\in{I}} be a family of sets of \mathbf{P}(E). Hence, the following equalities are true:

\displaystyle{\sup_{i\in{I}}S_{i}=\bigcup_{i\in{I}}S_{i}} and \displaystyle{\inf_{i\in{I}}S_{i}=\bigcap_{i\in{I}}S_{i}}.

The proof of above equalities is the same of the proof for two sets.

EXAMPLE8: We know that the natural numbers \mathbb{N} is a partially ordered set with the division. Let’s show that \sup\{n,m\}=\text{lcm}\{n,m\}=[n,m] and \inf\{n,m\}=\text{gcd}\{n,m\}=(n,m) for n,m\in{\mathbb{N}} (lcm: least common multiple, gcd: greatest common divisor). First, we will prove for the supremum: Since n\mid{[n,m]} and m\mid{[n,m]}, the number [n,m] is an upper bound of the set \{n,m\}. Assume that the natural number k is another upper bound of \{n,m\}. Then, n\mid{k} and m\mid{k}. So, [n,m]\mid{k}. Consequently, the least upper bound of two natural numbers is their least common multiple. Now, we will prove for the infimum: Since (n,m)\mid{n} and (n,m)\mid{m}, the number (n,m) is a lower bound of the set \{n,m\}. Assume that the natural number k is another lower bound of \{n,m\}. Then, k\mid{n} and k\mid{m}. So, k\mid{(m,n)}. Consequently, the greatest lower bound of two natural numbers is their greatest common divisor.

DEFINITION9: Let (X,\le) a partially ordered set and A\subset{X}.

(i) M\in{A} is called a maximal element of A if A has no an element being greater than M.

(ii) m\in{A} is called a minimal element of A if A has no an element being lower than m.

THE PROPERTIES OF MAXIMAL AND MINIMAL ELEMENTS:

1) Another expression for the maximal element: Let M be a maximal element of A and a\in{A}. Hence, M and a are incomparable each other or a\le{M}. Another expression for the minimal element: Let m be a minimal element of A and a\in{A}. Hence, m and a are incomparable each other or m\le{a}.

2) Any maximal or minimal element of A is in A.

3) Although a set has a maximal element, there may not be the maximum element of this set. Similarly, although a set has a minimal element, there may not be the minimum element of this set.

4) The number of minimal or maximal elements of a set may be more than one.

5) If a^{*} is the maximum element of a set, then a^{*} is also a maximal element of this set and this sethas no another maximal element. Similarly, if a_{*} is the minimum element of a set, then a_{*} is also a minimal element of this set and this set has no another minimal element.

6) Let A be a chain of a partially ordered set. If M is a maximal element of A, then M is also the maximum element of A and A has no another maximal element. Similarly, if m is a minimal element of A, then m is also the minimum element of A and A has no another minimal element.

EXAMPLE9: We know that the natural numbers \mathbb{N} is a partially ordered set with the division. ChooseA=\{2,3,4,5,12,15\}\subset{\mathbb{N}}. Since A has no element divided by 12 except for 12, the number 12 is a maximal element of A. Similarly, the number 15 is also a maximal element of A. Since Ahas no element dividing 2 except for 2, the number 2 is a minimal element of A. Similarly, the numbers 3 and 5 are also two minimal elements of A. A has no element being neither a maximal element nor a minimal element except for the number 4. See the following diagram:

Besides, since \text{lcm}A=60 and \text{gcd}A=1, \sup{A}=60 and \inf{A}=1.

ZORN’S LEMMA: Every partially ordered set in which every chain has an upper bound contains at least one maximal element.

Share this post

Bir cevap yazın